環

整数$\mathbb{Z}$の掛け算を思い浮かべてみる. 掛け算の定まった整数には, どのような性質が見られるだろうか.

まず, 任意に選んだ$a, b, c \in \mathbb{Z}$に対して,

$$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$$

を満たす. すなわち, 結合的である. たとえば,

$$\begin{align} 3 \cdot (4 \cdot 5) &= 60 \\\ (3 \cdot 4) \cdot 5 &= 60 \\\ であり,\hspace{16pt} 3 \cdot (4 \cdot 5) &= (3 \cdot 4) \cdot 5 \end{align}$$

である. $3, 4, 5$ に限らず全ての整数についてこれが成り立つ. 整数の掛け算はどの順序で計算しても同じ結果となるのだ.

この他, $1 \in \mathbb{Z}$ が存在して (※ただの$1$です. $1 + 1 = 2$の$1$ね.) 任意の$x \in \mathbb{Z}$にについて,

$$x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$$

となる. すなわち, 乗法の単位元が存在する.

しかしながら, $0 \cdot a = 1$となる$a$は存在しないため, 必ずしも逆元は存在しない. (少なくとも$0$の逆元, つまり逆数は存在しない.)

以上のことから, 整数$\mathbb{Z}$の掛け算は, モノイドをなすことがわかる.

さらに,

$$(x + y) \cdot s = x \cdot s + y \cdot s \\\ s \cdot (x + y) = s \cdot x + s \cdot y$$

という性質も満たす. これを分配律 (分配法則) という.

たとえば, $(10 + 2) \cdot 3$ を

$$(10 + 2) \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36$$

のように計算しても, あるいは分配法則を利用して

$$(10 + 2) \cdot 3 = 10 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 30 + 6 = 36$$

のように計算してもよいことを, わたしたちは知っている.

整数の足し算と掛け算とを考えると, 足し算については可換群に, 掛け算についてはモノイドになっており, 分配律が成り立っていることがわかる. このような代数的構造を環という.

例

整数 $\mathbb{Z}$ を同値関係 $\equiv \pmod{n}$ によって類別して得られた同値類に整数 $\mathbb{Z}$ 同様に加法を定めると可換群になるのであった. この類に次のように乗法を定めることによって, 乗法についてはモノイドをなし, また分配律 (分配法則) が成立するため, 環をなす.

$n$ で割って $m$ 余る数を $[m]$ と表すことにして,

$$\begin{align} [l] \cdot ([s] \cdot [t]) &= (kn + l) \cdot ((k^\prime n + s) \cdot (k^{\prime \prime } n + t)) \\\ &= (kn + l) \cdot (k^\prime n + s) \cdot (k^{\prime \prime } n + t) \\\ &= ((kn + l) \cdot (k^\prime n + s)) \cdot (k^{\prime \prime } n + t) \\\ &\equiv ([l] \cdot [s]) \cdot [t] \pmod{n} \end{align}$$

より, 乗法に関する結合律が成立,

$$\begin{align} [m][1] &= (kn + m) \cdot (k^\prime n + 1) \\\ &= (kk^\prime n + k + k^\prime m)\cdot n + m \cdot 1 \\\ &\equiv m \pmod{n} \\\ &\equiv [m] \pmod{n} \\\ \end{align}$$

より, 乗法に関する単位元 $[1]$ が存在し,

$$\begin{align} [l] \cdot ([s] + [t]) &= (kn + l) \cdot ((k^\prime n + s) + (k^{\prime \prime } n + t)) \\\ &= n \cdot (\cdots ) + l \cdot ((k^\prime n +s) + (k^{\prime \prime } n + t)) \\\ &\equiv l \cdot (((k^\prime n +s) + (k^{\prime \prime } n + t)) \pmod{n} \\\ &= l \cdot (k^\prime n + s) + l \cdot (k^{\prime \prime} n + t) \\\ &= (l k^\prime + l k^{\prime \prime } ) n + l \cdot s + l \cdot t \\\ &\equiv l \cdot s + l \cdot t \pmod{n} \\\ &\equiv [l] \cdot [s] + [l] \cdot [t] \pmod{n} \\\ \\\ ([s] + [t]) \cdot [l] &= ((k^\prime n + s) + (k^{\prime \prime } n + t)) \cdot (kn + l) \\\ &= (\cdots ) \cdot kn + ((k^\prime n +s) + (k^{\prime \prime } n + t)) \cdot l \\\ &\equiv (((k^\prime n +s) + (k^{\prime \prime } n + t)) \cdot l \pmod{n} \\\ &= (k^\prime n + s) \cdot l + (k^{\prime \prime} n + t) \cdot l \\\ &= (k^\prime l + k^{\prime \prime } l) n + s \cdot l + t \cdot l \\\ &\equiv s \cdot l + t \cdot l \pmod{n} \\\ &\equiv [s] \cdot [l] + [t] \cdot [l] \pmod{n} \end{align}$$

から, 乗法と加法について分配律が成立している. よって, これは環である.

この環を剰余環 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ といって, 暗号理論, 暗号技術のいたるところに顔を出す.