同値関係

同値関係

２つの式が等しいことを $=$ (イコール) という記号で表すが, この $=$ のもつ性質を抜き出して一般化した関係を考えることができて, そのような関係を同値関係という.

$=$ (イコール) には次の３つの性質が見られる.

1. $a = a$ (反射律という)
2. $a=b$ ならば $b=a$ (対称律)
3. $a=b$ かつ $b=c$ ならば $a=c$ (推移律)

これらの性質を満たす関係が同値関係である.

例 $a, b$ を $3$ で割った余りが等しいことを "$3$ を法として$a$と$b$が合同である" といい, $a \equiv b \pmod{3}$ と表すが, この $\equiv \pmod{3}$ という関係は上記の3つの性質を満たす (すなわち同値関係である.)

同値類と類別

同値関係によって集合を分割することができる. このとき, 分割された集合のことを同値類といい, また分割することを類別という. 同値類は各々重複がなく, また元の集合の要素であっていずれの同値類にも属さないことはありえない.

例えば, 前節のように $\bmod{3}$ の合同式で整数の集合に同値関係を入れた場合, 整数の集合は, $3$で割り切れる(i.e. 余りが$0$となる) 数の集合, 余りが$1$となる数の集合, 余りが$2$となる数の集合に分割され, 整数の中にこの3つの集合のいずれにも属さないものはない. また、同時に2つ以上の集合に属するものもない. 例えば, $3$で割った余りが$1$となって, かつ$3$で割った余りが$2$となる数は存在しない.

このように, 同値関係は類別を引き起こし, そして同値類は重複なく集合を覆い尽くす