モノイド

群の公理のうち, 結合律と単位元の存在は満たすものの, 必ずしもすべての元 (要素) に対して逆元が存在しない代数的構造をモノイド (monoid) という. なお, さらにここから単位元を取り払うと半群 (semi-group) とよばれる構造となるが, ここでは半群についてはこれ以上言及しない.

例 整数$\mathbb{Z}$を$\equiv \pmod{n}$によって類別して得られた同値類に整数$\mathbb{Z}$の乗法$\cdot$を定めることでモノイドをなす.

単位元は, $a \equiv 1 \pmod{n}$となる$a$, すなわち$n$で割って$1$余る数である.

実際, $n$で割って$m$余る数との積は,

$$(nk+m)\cdot{}(nk^\prime + 1) = n(nkk^\prime + k + mk^\prime ) + m\cdot 1 \equiv m \pmod{n}$$

となり, 乗法について単位元となっていることを容易に確認できる.

また, 乗法は結合的である. これは整数$\mathbb{Z}$の乗法$\cdot$が結合的であることから明らかである.

しかしながら, $a \equiv 0 \pmod{n}$ となる$a$は何と積をとっても, $0 \pmod{n}$ となってしまうため, 逆元は少なくとも$0$に対しては存在しない. このことは, $n$で割り切れる数とは$n$の倍数であり, $n$の倍数に何をかけても$n$の倍数となってしまうことから理解するのは容易い.